آنالیز کوواریانس چند متغیره (MANCOVA) یک طرفه در SPSS

پری کرمی
فوریه 20, 2023
3 دیدگاه ها

آنالیز کوواریانس چند متغیره (MANCOVA) یک طرفه در SPSS

معرفی

آنالیز کوواریانس چند متغیره (MANCOVA) (one-way multivariate analysis of covariance) یک طرفه را می توان به عنوان بسطی از MANOVA یک طرفه در نظر گرفت که برای ادغام یک متغیر کمکی از ANCOVA یک طرفه برای ترکیب متغیرهای وابسته چندگانه در نظر گرفته می شود. این متغیر به صورت خطی با متغیرهای وابسته مرتبط است و گنجاندن آن در آنالیز می تواند توانایی تشخیص تفاوت بین گروه های یک متغیر مستقل را افزایش دهد. MANCOVA یک طرفه برای تعیین وجود تفاوت آماری معنی‌داری بین میانگین‌های تعدیل‌شده سه یا چند گروه مستقل (نامرتبط) که برای یک متغیر کمکی پیوسته کنترل شده‌اند، استفاده می‌شود.

به عنوان مثال، می‌توانید از MANCOVA یک طرفه استفاده کنید تا بفهمید آیا تعدادی از نمره های سه امتحان مختلف (ریاضی، علوم و فارسی) بر اساس میزان اضطراب دانش‌آموزان متفاوت است یا خیر؟. در این مثال مدت زمان مرور درسی را کنترل می‌کنید و متغیرهای وابسته شما نمره های سه امتحان ریاضی، علوم و فارسی هستند که همگی از 0 تا 20 اندازه‌گیری می‌شوند. متغیر مستقل شما «میزان اضطراب» است که دارای سه گروه « کم‌استرس»، «استرس متوسط» و «پراسترس» است و متغیر کمکی شما “مدت زمان مرور درسی” می باشد که بر حسب ساعت اندازه‌گیری می‌شود. شما می‌خواهید مدت زمان مرور درسی را کنترل کنید زیرا معتقدید تأثیر سطوح اضطراب امتحان بر نمره کلی امتحان تا حدی به مدت زمانی که دانش‌آموزان صرف مرور درسی می‌کنند بستگی دارد.

MANCOVA یک طرفه بسیار مفید است، اما مهم است که بدانید MANCOVA یک طرفه یک آزمون آماری همه جانبه است. این آزمون به شما می گوید که آیا گروه های متغیر مستقل از نظر آماری بر اساس متغیرهای وابسته ترکیبی، پس از تعدیل متغیر کمکی تفاوت معنی داری دارند یا نه. اما توضیح بیشتری در مورد نتیجه نمی دهد. به عبارت دیگر، MANCOVA یک طرفه تفاوت بین گروه های خاص را به شما نمی گوید. با استفاده از مثال بالا، یک MANCOVA یک طرفه از نظر آماری معنی‌دار نشان می‌دهد که تفاوتی در میزان اضطراب امتحان در نمرات ترکیبی از سه امتحان (ریاضی، علوم و فارسی) وجود دارد. با این حال، نشان نمی‌دهد که آیا دانش‌آموزان کم‌استرس در مقایسه با دانش‌آموزان پراسترس در سه امتحان نمرات بالاتری کسب کرده‌اند یا خیر. بلاعکس آیا دانش‌آموزان پراسترس در مقایسه با دانش‌آموزان کماسترس در سه امتحان نمرات بالاتری کسب کرده‌اند یا خیر، را نشان نمی دهد. با این حال، به آزمون‌های تعقیبی (post hoc tests) وجود دارد که می‌توان برای تعیین اینکه این تفاوت‌ها بین گروه‌ها کجاست، استفاده کرد که در پایان این آموزش به آنها اشاره می‌کنیم.

در این آموزش ، ما به شما نشان می‌دهیم که چگونه یک MANCOVA یک طرفه را با استفاده از SPSS انجام دهید، و همچنین نتایج این آزمایش را تفسیر و گزارش کنید. با این حال، قبل از اینکه شما را با این روش آشنا کنیم، باید فرضیات مختلفی را که داده‌های شما باید رعایت کنند تا MANCOVA یک طرفه به شما نتیجه معتبری بدهد، بدانید. در ادامه به این فرضیات می پردازیم.

فرضیات

هنگامی که تصمیم می‌گیرید داده‌های خود را با استفاده از MANCOVA یک طرفه آنالیز کنید، ابتدا باید مطمئن شوید که آیا واقعاً داده‌های شما با استفاده از MANCOVA یک طرفه قابل آنالیز هستند یه نه؟. شما باید این کار را انجام دهید. زیرا استفاده از MANCOVA یک طرفه تنها زمانی مناسب است که داده های شما از 11 فرضی که برای یک MANCOVA یک طرفه برای ارائه یک نتیجه معتبر لازم است، عبور کند. در عمل، بررسی این 11 فرض، زمان‌برترین بخش آنالیز شما خواهد بود. ولی در کل، کار سختی نیست.

فرض شماره 1:

دو یا چند متغیر وابسته شما باید در سطح فاصله ای (interval) یا نسبتی (ratio) اندازه گیری شوند. یعنی متغیرها از نوع پیوسته هستند. نمونه‌هایی از متغیرهای پیوسته عبارتند از: زمان (اندازه‌گیری شده بر حسب ساعت)، هوش (اندازه‌گیری شده با استفاده از امتیاز IQ)، نمره امتحان (اندازه‌گیری شده از 0 تا 20)، وزن (اندازه‌گیری شده بر حسب کیلوگرم)، و غیره.

فرض شماره 2:

یک متغیر مستقل شما باید از دو یا چند گروه طبقه ای (categorical) مستقل تشکیل شده باشد. یعنی شما یک متغیر اسمی یا یک متغیر ترتیبی دارید. نمونه هایی از متغیرهای اسمی شامل جنسیت (به عنوان مثال، 2 گروه: مرد و زن)، قومیت (به عنوان مثال، 4 گروه: فارس، ترک، کرد و لر) و حرفه (به عنوان مثال، 4 گروه: جراح، پزشک، پرستار و دندانپزشک) می باشد. نمونه هایی از متغیرهای ترتیبی عبارتند از غلظت کلسترول (به عنوان مثال، 2 گروه: کمتر و بالاتر از 5 میلی مول در لیتر)، سطح فعالیت بدنی (به عنوان مثال، 3 گروه: کم تحرک، تحرک متوسط و پرتحرک) و غیره می باشد.

فرض شماره 3:

یک یا چند متغیر کمکی شما از نوع متغیرهای پیوسته هستند. یک متغیر کمکی به سادگی یک متغیر مستقل پیوسته است که برای تولید مدل MANCOVA به مدل MANOVA اضافه می شود. این متغیر کمکی برای تنظیم میانگین گروه‌های متغیر مستقل طبقه‌ای استفاده می‌شود. در یک MANCOVA، متغیر کمکی معمولاً تنها برای ارائه ارزیابی بهتری از تفاوت‌های بین گروه‌های متغیر مستقل طبقه‌بندی بر روی متغیرهای وابسته وجود دارد.

فرض شماره 4:

مشاهدات شما باید استقلال داشته باشند. به این معنی که هیچ رابطه ای بین مشاهدات در هر گروه از متغیر مستقل یا بین خود گروه ها وجود ندارد. برای مثال، در هر گروه از متغیر مستقل باید شرکت‌کنندگان متفاوتی وجود داشته باشد و هیچ شرکت‌کننده‌ای در بیش از یک گروه نباشد. این بیشتر به موضوع طراحی مطالعه مربوط است تا چیزی که بتوانید آن را آزمایش کنید، اما یک فرض مهم در MANCOVA یک طرفه است.

فرض شماره 5:

باید یک رابطه خطی بین هر جفت متغیر وابسته در هر گروه از متغیر مستقل وجود داشته باشد. اگر متغیرها به صورت خطی به هم مرتبط نباشند، توان آزمون کاهش می یابد. شما می توانید این فرض را با رسم یک ماتریس پراکنده گی با خطوط لس (scatterplot matrix with loess lines) متغیرهای وابسته برای هر گروه از متغیر مستقل آزمایش کنید. برای انجام این کار، باید قبل از تولید ماتریس های پراکنده، فایل داده خود را در SPSS تقسیم کنید.

فرض شماره 6:

باید یک رابطه خطی بین متغیر کمکی و هر متغیر وابسته در هر گروه از متغیر مستقل وجود داشته باشد. مشابه فرض شماره 5 در بالا، می توانید این فرض را با ترسیم یک ماتریس پراکنده گی با خطوط لس متغیر کمکی برای هر یک از متغیرهای وابسته، برای هر گروه از متغیر مستقل، آزمایش کنید. قبل از تولید ماتریس های پراکنده گی، مجددا باید مطمئن شوید که فایل داده شما در SPSS تقسیم شده است.

فرض شماره 7:

شیب های رگرسیون باید همگن باشد. این فرض بیان می کند که رابطه بین متغیر کمکی و هر متغیر وابسته جداگانه، در هر گروه از متغیر مستقل یکسان است، همانطور که توسط شیب رگرسیون ارزیابی می شود. به بیان ساده، در فرض شماره 6 خطی بودن روابط ارزیابی گردید. اکنون در این فرض یکسان بودن این روابط خطی بررسی می شود.

فرض شماره 8:

باید همگنی واریانس ها و کوواریانس ها وجود داشته باشد. به عبارت دیگر، MANCOVA یک طرفه فرض می‌کند که واریانس‌ها و کوواریانس‌های متغیرهای وابسته در همه گروه‌های متغیر مستقل برابر است. شما می توانید این فرض را در SPSS با استفاده از Box’s M Test of Equality of Covariance Matrices. (آزمون M باکس برای برابری ماتریس های کوواریانس) آزمایش کنید.

فرض شماره 9:

در گروه های متغیر مستقل شما بر حسب هر متغیر وابسته، نباید هیچ تک متغیره پرت (univariate outliers) مهمی وجود داشته باشد. اگر متغیر وابسته ای وجود داشته باشد که مقدار آن در هر گروهی از متغیر مستقل غیرمعمول باشد، به این ترتیب که مقدار آنها در مقایسه با سایر مقادیر بسیار کوچک یا بزرگ است، این مقادیر را تک متغیره پرت می نامند. تک متغیره های پرت می توانند تأثیر منفی زیادی بر نتایج شما داشته باشند. زیرا می توانند تأثیر زیادی بر میانگین آن گروه داشته باشند و تغییر زیادی ایجاد. زمانی که حجم نمونه کوچک‌تری دارید، تک متغیره پرت مهم‌تر است، زیرا تأثیر آن بیشتر خواهد بود. تک متغیره پرت را می توان با بررسی باقیمانده های استاندارد شده (standardized residuals) توسط SPSS، شناسایی کرد.

فرض شماره 10:

در گروه های متغیر مستقل شما بر حسب هر متغیر وابسته، نباید چند متغیره پرت (multivariate outliers) قابل توجهی وجود داشته باشد. چند متغیره پرت های مواردی هستند که دارای ترکیبی غیرعادی از مقادیر روی متغیرهای وابسته در هر گروه از متغیر مستقل هستند. SPSS می‌تواند اندازه‌گیری به نام Mahalanobis distance را محاسبه کند که می‌تواند برای شناسایی چند متغیره پرت مورد استفاده قرار گیرد.

فرض شماره 11:

باید نرمال بودن چند متغیره (multivariate normality) وجود داشته باشد. متأسفانه، نرمال بودن چند متغیره یک فرض پیچیده برای آزمایش است و نمی توان آن را مستقیماً در SPSS آزمایش کرد. درعوض، نرمال بودن هر یک از باقیمانده‌ها برای هر گروه از متغیر مستقل اغلب در جای خود به عنوان بهترین حدس برای وجود نرمال بودن چند متغیره استفاده می‌شود. شما می توانید این مورد را با استفاده از آزمون نرمال بودن Shapiro-Wilk در SPSS آزمایش کنید.

با استفاده از SPSS می توانید فرضیات #5، #6، #7، #8، #9، #10 و #11 را بررسی کنید. قبل از انجام این کار، باید مطمئن شوید که داده های شما با فرضیات #1، #2، #3 و #4 مطابقت دارند، اگرچه برای انجام این کار به SPSS نیاز ندارید. فقط به یاد داشته باشید که اگر آزمون های آماری را بر اساس این فرضیات به درستی اجرا نکنید، نتایجی که هنگام اجرای MANCOVA یک طرفه به دست می آورید ممکن است معتبر نباشند.

در بخش بعدی، ما روش SPSS را برای انجام یک MANCOVA یک طرفه با فرض اینکه هیچ فرض گفته شده در بالا نقض نشده است، نشان می دهیم. ابتدا، مثالی را که برای توضیح روش MANCOVA یک طرفه در SPSS استفاده کرده ایم، را ارائه می‌کنیم.

مثال و تنظیم داده در SPSS

یک محقق می خواست تعیین کند که آیا برای افراد با وزن طبیعی با سطوح فعالیت بدنی بالاتر در مقایسه با افراد دارای اضافه وزن بیشتر با سطح فعالیت بدنی پایین تر، سلامت قلبی عروقی بهتر است یا نه؟. به این ترتیب، محقق 120 شرکت‌کننده را انتخاب کرد که متعاقباً بسته به میزان فعالیت بدنی که انجام می‌دادند به یکی از سه گروه (کم تحرک، تحرک متوسط، پر تحرک) تقسیم شدند. در هر گروه 40 شرکت کننده حضور داشتند. به منظور اندازه گیری سلامت قلب و عروق، محقق سه اندازه گیری از شرکت کنندگان انجام داد: (1) غلظت کلسترول (اندازه گیری شده برحسب میلی مول در لیتر)، پروتئین واکنشی C (C-Reactive Protein) (نشانگر بیماری قلبی، اندازه گیری شده بر حسب میلی گرم در لیتر) و فشار خون سیستولیک (یعنی 140 در 80/140، با میلی متر جیوه اندازه گیری می شود).

انتظار می رفت که افزایش سطح فعالیت بدنی بر سلامت قلب و عروق اثر مفیدی داشته باشد، همانطور که با غلظت کلسترول، پروتئین واکنشی C و فشار خون سیستولیک اندازه گیری می شود. با این حال، محقق می داند که وزن بدن نیز بر سلامت قلب و عروق تأثیر می گذارد. به این ترتیب، محقق می خواست تفاوت های وزن بدن شرکت کنندگان را کنترل کند.

برای آزمون MANCOVA یک طرفه:

(1) غلظت کلسترول ، پروتئین واکنش‌گر C و فشار خون سیستولیک ، به عنوان متغیرهای وابسته، (2) وزن بدن به عنوان متغیر کمکی، و (3) سه گروه فعالیت بدنی “low”، “moderate” و “high” ( “کم” “، “متوسط” و “بالا”) به عنوان گروه های متغیر مستقل، درنظر گرفته شدند.

در SPSS، ما پنج متغیر ایجاد می کنیم: (الف) سه متغیر وابسته پیوسته، ، و . ب) متغير مستقل طبقه اي، كه داراي سه گروه است: “low”، “moderate” و “high” و متغیر کمکی، ، که وزن بدن را نشان می دهد. قبل از اینکه بتوانید MANCOVA یک طرفه را انجام دهید، این متغیرها باید به درستی در پنجره‌های View Variable View و Data View تنظیم شوند.

توجه: همچنین شما باید یک متغیر اضافی به نام ایجاد کنید تا به عنوان شماره شرکت کننده (case number) عمل کند. این متغیر برای آزمایش اینکه آیا مقادیر پرت چند متغیره وجود دارد یا نه (فرض شماره 10) مورد نیاز است.

روش آزمون در SPSS

پنج مرحله زیر به شما نشان می دهد که چگونه داده های خود را با استفاده از MANCOVA یک طرفه در SPSS آنالیز کنید. البته به شرطی که که 11 فرض گفته شده در بخش فرضیات، نقض نشده باشد. در پایان این پنج مرحله، نحوه تفسیر نتایج این آزمون را به شما نشان می دهیم.

توجه: از آنجایی که برخی از گزینه‌های روش General Linear Model > Multivariate… در ورژن 25 SPSS تغییر کرده است، ما اسکرین شات‌هایی را هم برای ورژن 24 و ورژن‌های قبلی SPSS نیز در پایان هر مرحله به شما نشان می دهیم. ورژن های 27 به بعد در SPSS ظاهر جدیدی به رابط خود به نام “SPSS Light” معرفی کرد و جایگزین ظاهر قبلی ورژن 26 و ورژن های قبلی شد که “SPSS Standard” نام داشت. بنابراین، اگر ورژن های 27 یا 28 را دارید، تصاویری که در ادامه می آیند به جای “آبی”، “خاکستری روشن” خواهند بود. با این حال، روش ورژن های 25، 26، 27 و 28 یکسان است.

مرحله (1)

همانطور که در زیر نشان داده شده است، روی

Analyze > General Linear Model > Multivariate…

در منوی اصلی کلیک کنید:

مطابق شکل زیر پنجره ی Multivariate نمایش داده می شود:

مرحله (2)

با استفاده از دکمه های فلش مربوطه متغیرهای وابسته ، و را به کادر Dependent Variable و متغیر مستقل ، به کادر Fixed Factor(s) و متغیر کمکی ، را به کادر Covariate(s) منتقل کنید. در نهایت با صفحه‌ای مشابه تصویر زیر مواجه خواهید شد:

مرحله (3)

اگر ورژن‌های 25، 26 یا 27 از SPSS دارید، می‌توانید به SPSS دستور دهید تا یک آزمون تعقیبی post hoc test را برای پیگیری یک آنالیز آماری معنی‌دار MANCOVA یک طرفه با استفاده از پنجره های Multivariate: Estimated Marginal Means و Multivariate: Options انجام دهد. همانطور که در زیر نشان داده شده است، برای دسترسی به آنها روی دکمه های و کلیک کنید:

توجه: اگر SPSS ورژن 24 یا ورژن قبلی SPSS دارید، گزینه های اجرای یک آزمون تعقیبی برای پیگیری یک آنالیز آماری یک طرفه MANCOVA با کلیک بر روی دکمه Options قابل دسترسی است که مطابق شکل زیر پنجره ی Multivariate: Options را اجرا می کند:

در این آموزش ما فقط به شما نشان می دهیم که چگونه نتیجه اصلی MANCOVA یک طرفه را تفسیر کنید و در مورد آزمون های تعقیبی بحثی نمی کنیم.

مرحله (4)

بر روی دکمه Continue کلیک کنید. با این کار به پنجره ی Multivariate بر می گردید.

مرحله (5)

برای ایجاد نتایج MANCOVA یک طرفه، روی دکمه OK کلیک کنید.

تفسیر نتایج MANCOVA یک طرفه

SPSS تعدادی جداول مختلف را در آنالیز MANCOVA یک طرفه خود تولید می کند، اما برای تعیین اینکه آیا MANCOVA یک طرفه شما از نظر آماری معنادار است یا خیر، فقط باید جدول Multivariate Tests (آزمون های چند متغیره) را تفسیر کنید. همانطور که قبل اشاره شد، آنالیز زیر به شرطی است که داده‌های شما قبلاً 11 فرض مورد نیاز برای یک MANCOVA یک طرفه را برآورده کرده‌اند تا نتیجه معتبری به شما بدهد.

جدول Multivariate Tests (آزمون های چند متغیره)

هدف اصلی اجرای یک MANCOVA یک طرفه این است که مشخص شود آیا گروه‌های متغیر مستقل، ، از نظر آماری به طور معنی‌داری بر روی متغیرهای وابسته (به عنوان مثال، ، ، و در مجموع)، پس از کنترل یک متغیر کمکی، تفاوت دارند یا خیر. اگر MANCOVA یک طرفه از نظر آماری معنی‌دار باشد، این نشان می‌دهد که تفاوت میانگین تعدیل‌شده آماری معنی‌داری بین گروه‌های متغیر مستقل بر حسب متغیر وابسته ترکیبی (پس از تعدیل برای متغیر کمکی پیوسته) وجود دارد. به عنوان مثال، نشان می‌دهد که میانگین مقادیر ترکیبی متغیرهای وابسته ( ، و ) که برای متغیر کمکی پیوسته، تنظیم شده‌اند، بین سه گروه از متغیر مستقل ما، متفاوت است (یعنی “low”، “moderate” و “high”). بنابراین، برای تفسیر نتایج حاصل از MANCOVA یک طرفه، باید به جدول Multivariate Tests نگاه کنید، همانطور که در زیر مشخص شده است:

توجه: ما ردیف های داخل عنوان group را هایلایت کرده ایم. عنوان این ردیف هم نام متغیر مستقل شما خواهد بود. در مثال ما، با برچسب group نامگذاری شده است. بنابراین، وقتی داده‌های خود را آنالیز می‌کنید، در جدول Multivariate Tests به دنبال عنوان ردیفی بگردید که با نام متغیر مستقل شما مطابقت دارد.

نام‌های متفاوتی که به هر ردیف داده می‌شود (Pillai’s Trace، Wilks’ Lambda، Hotelling’s Trace و Roy’s Largest Root) نام آماره های چند متغیره مختلفی است که می‌تواند برای آزمایش اهمیت آماری تفاوت‌های بین گروه‌ها استفاده شود. هر محاسبه متفاوت احتمال (p-value) بدست آوردن یک آماره F بزرگتر یا مساوی با آمار محاسبه شده را در اختیار شما قرار می دهد. آنها همچنین اندازه افکت را در اختیار شما قرار می دهند. با این حال، شما یک پیچیدگی اضافی دارید که باید تصمیم بگیرید از کدام آماره F چند متغیره استفاده کنید، به خصوص به این دلیل که آنها همیشه پاسخ یکسانی را ارائه نمی دهند. رایج ترین آماره چند متغیره توصیه شده برای استفاده Wilks’ Lambda (Λ) است و این همان چیزی است که در این مثال استفاده خواهد شد.

بنابراین، نتیجه MANCOVA یک طرفه در امتداد ردیف “Wilks’ Lambda” در ردیف “group” جدول Multivariate Tests، همانطور که در زیر برجسته شده است، یافت می شود:

نکته: توجه داشته باشید که به ردیف Wilks’ Lambda در عنوان ردیف، group نگاه می کنید. برای این آنالیز، می‌توانید تمام ردیف‌های دیگر، از جمله ردیف‌هایی با عنوان Intercept و weight را نادیده بگیرید. هنگامی که داده‌های خود را آنالیز می‌کنید، یک عنوان ردیف Intercept خواهید داشت، اما از آنجایی که weight، نام متغیر کمکی پیوسته ما، یعنی وزن را نشان می‌دهد، این نام عنوان متفاوتی خواهد داشت. یعنی برچسب یکسانی با نام متغیر کمکی پیوسته شما خواهد داشت.

اگر MANCOVA یک طرفه از نظر آماری معنادار باشد، مقدار p (p-value) (در ستون “Sig.”) کمتر از 0.05 (یعنی p <0.05) خواهید داشت. متناوبا، اگر p > 0.05 باشد، MANCOVA یک طرفه از نظر آماری معنادار نیست. بنابراین، در مثال ما، اگر p<0.05 باشد بین گروه‌های فعالیت بدنی از نظر متغیرهای سلامت ترکیبی، پس از کنترل وزن تفاوت آماری معنی‌داری وجود دارد. از طرف دیگر، اگر p>0.05 باشد، تفاوت آماری معنی‌داری بین گروه‌های فعالیت بدنی از نظر متغیرهای سلامت ترکیبی (غلظت کلسترول، پروتئین واکنشی C و فشار خون)، پس از کنترل وزن وجود ندارد. به این ترتیب، همانطور که در زیر مشخص شده است، باید به مقدار “Sig.” در امتداد ردیف Wilks’ Lambda نگاه کنید:

می توانید ببینید که مقدار معنی داری آماری 0.000 است (یعنی ستون “Sig.”) که به این معنی است که p <.0005 است. از آنجایی که 0.000 (یعنی p <0.0005) کمتر از 0.05 است (یعنی p<.05)، MANCOVA یک طرفه از نظر آماری معنادار است. یعنی از نظر آماری تفاوت معناداری در متغیرهای سلامت ترکیبی (غلظت کلسترول، پروتئین واکنشی C و فشار خون) بین سطوح فعالیت بدنی، پس از کنترل وزن وجود دارد.

SPSS همچنین یک اندازه اثر (effect size) به نام جزئی eta مربع (partial eta squared) (یعنی η² جزئی) را گزارش خواهد کرد. این مقدار در ستون “Partial Eta Squared” جدول Multivariate Tests قابل مشاهده است. در حال حاضر، هیچ تعاریف توافق شده ای در مورد اینکه چه چیزی یک اندازه اثر قوی (یا غیر آن) را تشکیل می دهد وجود ندارد.

گزارش نتایج MANCOVA یک طرفه

شما می توانید یک نتیجه آماری معنی دار MANCOVA یک طرفه را به شرح زیر گزارش کنید:

بین گروه‌های فعالیت بدنی بر روی متغیرهای وابسته ترکیبی پس از کنترل وزن تفاوت آماری معنی‌داری وجود داشت.

F(6, 228)= 36.667, p<.0005, Wilks’ Λ=.259, partial η²=.491

در عبارت بالا، قسمت مختلف به معنای زیر است:

قسمت	معنی
F	نشان می دهد که ما در حال مقایسه با یک توزیع F (آزمون F) هستیم.
6 در (6, 228)	درجه آزادی Wilks’ Lambda را برای MANCOVA یک طرفه نشان می دهد.
228 در (6, 228)	درجه آزادی را برای عبارت خطای Wilks’ Lambda نشان می دهد.
36.667	مقدار به دست آمده از آماره F (F-value) را برای Wilks’ Lambda نشان می دهد.
p < .0005	با توجه به اینکه فرضیه صفر درست است، احتمال به دست آوردن مقدار F مشاهده شده را نشان می دهد.
Wilks’ Λ = .259	مقدار Wilks’ Lambda را نشان می دهد.
partial η2 = .491	اندازه گیری اندازه اثر برای Wilks’ Lambda.

توجه: اگر نتیجه MANCOVA یک طرفه از نظر آماری معنی دار نبود، می توانید نتیجه را به صورت زیر گزارش کنید:

پس از کنترل وزن، تفاوت آماری معنی‌داری بین گروه‌های فعالیت بدنی بر روی متغیرهای وابسته ترکیبی وجود نداشت.

F(6, 228)=1.589, p=.485, Wilks’ Λ=.102, partial η²=.061

***** مقادیر استفاده شده برای عبارت بالا برای ارائه یک مثال ساختگی هستند*****

پیگیری یک MANCOVA یک طرفه آماری معنی دار

نحوه پیگیری یک نتیجه آماری معنی دار MANCOVA یک طرفه بحث برانگیز است. یکی از روش‌هایی که توصیه می‌شود، که اقدام پیش‌فرض SPSS نیز می‌باشد، پیگیری آزمون‌های آماری تک متغیره است که شامل دو مرحله است:

مرحله اول: اگر MANCOVA یک طرفه از نظر آماری معنی‌دار باشد، این نشان می‌دهد که یک تفاوت میانگین تعدیل‌شده از نظر آماری معنی‌دار بین گروه‌های متغیر مستقل بر حسب متغیرهای وابسته ترکیبی (پس از تعدیل برای متغیر کمکی پیوسته) وجود دارد. با این حال، MANCOVA یک طرفه به شما نمی گوید که آیا تفاوت میانگین تعدیل شده آماری معنی داری نیز بین گروه های متغیر مستقل بر حسب هر متغیر وابسته وجود دارد یا خیر. این اولین آزمایش بعدی است که می توانید انجام دهید.

مرحله دوم: اگر هر یک از آنالیز‌های بعدی در مرحله اول از نظر آماری معنی‌دار است، می‌توانید با بررسی همه مقایسه‌های زوجی (pairwise comparisons) ممکن بین گروه‌های متغیر مستقل خود، این موضوع را دنبال کنید. این نشان می دهد که کدام یک از گروه های متغیر مستقل از نظر میانگین گروه تعدیل شده بر روی متغیر وابسته (یعنی پس از تعدیل برای متغیر کمکی پیوسته) تفاوت معنی داری از نظر آماری دارند. برای مثال، این مقایسه‌های زوجی توضیح می‌دهند که آیا هر متغیر وابسته، پس از تعدیل متغیر کمکی، در یک گروه (مثلاً گروه A) در مقایسه با گروه دیگر (مثلاً گروه B) بالاتر بوده است یا خیر، و اینکه آیا این تفاوت از نظر آماری معنی‌دار است یا خیر.

اگر MANCOVA یک طرفه از نظر آماری معنی دار نباشد، معمولاً MANCOVA یک طرفه را با هیچ آزمون تعقیبی دیگری، پیگیری نمی کنند.