آنالیز واریانس چند متغیره یک طرفه با استفاده از Minitab

مقدمه

آنالیز واریانس چند متغیره یک طرفه (MANOVA یک طرفه) (one-way multivariate analysis of variance) برای تعیین تفاوت بین دو یا چند گروه از یک متغیر مستقل در بیش از یک متغیر وابسته پیوسته استفاده می شود. زمانی که چندین متغیر وابسته دارید، می‌توان آن را به‌عنوان بسطی از ANOVA یک طرفه در نظر گرفت.

به عنوان مثال، می‌توان از یک MANOVA یک طرفه استفاده کرد تا فهمید آیا تفاوتی در حقوق و پاداش‌ها بر اساس نوع مدرک وجود داشته باشد. در این مثال، دو متغیر وابسته «حقوق» و «پاداش» هستند، در حالی که متغیر مستقل «نوع مدرک» است. که دارای مثلا پنج گروه «مطالعات بازرگانی»، «روانشناسی»، «علوم زیستی»، «مهندسی» و «حقوق» است.

زمانی که بین گروه‌های متغیر مستقل از نظر آماری تفاوت معنی‌داری وجود داشته باشد، می‌توان با استفاده از آزمون تعقیبی (post hoc tests) مشخص کرد که کدام گروه‌های خاص با یکدیگر تفاوت معناداری داشتند. شما باید این آزمون‌های تعقیبی را انجام دهید. زیرا MANOVA یک‌طرفه یک آمار آزمون همه‌جانبه است و نمی‌تواند تعیین کند که کدام گروه‌های خاص تفاوت قابل توجهی با یکدیگر دارند. فقط به شما می گوید که حداقل دو گروه متفاوت هستند.

در این آموزش، ما به شما نشان می دهیم که چگونه یک MANOVA یک طرفه را با استفاده از Minitab انجام دهید. همچنین نتایج این بررسی را تفسیر و گزارش کنید. با این حال، قبل از اینکه شما را با این روش آشنا کنیم، باید فرضیات مختلفی را که داده‌های شما باید رعایت کنند تا یک MANOVA یک طرفه به شما نتیجه معتبری بدهد، بدانید. در ادامه به این فرضیات می پردازیم.

فرضیات

MANOVA یک طرفه دارای 9 فرض است. شما نمی توانید سه فرض اول را با Minitab بررسی کنید زیرا به طراحی مطالعه شما و انتخاب متغیرها مربوط می شود. با این حال، قبل از آزمون باید بررسی کنید که آیا مطالعه شما با این سه فرض مطابقت دارد یا خیر. اگر این فرضیات برآورده نشوند، باید به جای MANOVA یک طرفه از یک آزمون آماری دیگری استفاده کنید. فرض شماره 4 چیزی است که می توانید آن را قبل از مطالعه امتحان کنید، اما به ندرت بررسی می شود. فرضیات #1، #2، #3 و #4 در زیر توضیح داده شده است:

فرض شماره 1:

دو یا چند متغیر وابسته شما باید در یک سطح پیوسته اندازه گیری شوند (یعنی متغیرهای فاصله ای (interval) یا نسبتی (ratio) هستند). نمونه‌هایی از متغیرهای پیوسته عبارتند از: ارتفاع ، دما، حقوق، زمان، هوش، سن، توان خروجی، عملکرد امتحان و غیره می باشد.

فرض شماره 2:

متغیر مستقل شما باید از دو یا چند گروه مستقل (غیر مرتبط) طبقه ای (categorical) باشد. نمونه هایی از این متغیرهای مستقل طبقه ای شامل جنسیت (دو گروه: مرد یا زن)، نوع درمان (دو گروه: با دارو یا بدون دارو)، سطح تحصیلات (سه گروه: دبیرستان، کارشناسی یا کارشناسی ارشد)، بیمه سلامت (دو گروه: بله یا نه)، تیپ شخصیتی (دو گروه: درونگرایی یا برونگرایی) و غیره می باشد.

فرض شماره 3:

مشاهدات شما باید استقلال داشته باشند. به این معنی که هیچ رابطه ای بین مشاهدات در هر گروه یا بین خود گروه ها وجود نداشته باشد. برای مثال، باید در هر گروه، شرکت‌کنندگان متفاوتی وجود داشته باشد و هیچ شرکت‌کننده‌ای در بیش از یک گروه نباشد. اگر استقلال مشاهدات ندارید، احتمالاً “گروه های مرتبط” دارید، به این معنی که به جای MANOVA یک طرفه، باید از MANOVA اندازه گیری های مکرر یک طرفه (one-way repeated measures MANOVA) استفاده کنید.

فرض شماره 4:

حجم نمونه شما باید کافی باشد. هرچه اندازه نمونه شما بزرگتر باشد، بهتر است. بااین حال باید هنگام انجام یک MANOVA، تعداد موارد (به عنوان مثال، شرکت کنندگان) در هر گروه از متغیر مستقل باید بیشتر از تعداد متغیرهای وابسته باشند.

فرضیات #5، #6، #7، #8 و #9 به ماهیت داده های شما مربوط می شود و همه آنها به جز #8 را می توان با استفاده از Minitab بررسی کرد. باید این فرضیات بررسی کنید، زیرا در غیر این صورت، نتایجی که هنگام اجرای MANOVA یک طرفه به دست می‌آورید ممکن است معتبر نباشند. فرضیات #5، #6، #7، #8 و #9 در زیر توضیح داده شده است:

فرض شماره 5:

هیچ تک متغیر یا چند متغیره پرتی (univariate or multivariate outliers) وجود نداشته باشد. اولاً، در هر گروه از متغیر مستقل، برای هر یک از متغیرهای وابسته، هیچ متغیر (تک متغیری) پرت وجود ندارد. این یک فرض مشابه با ANOVA یک طرفه است، اما برای هر متغیر وابسته که در آنالیز MANOVA خود دارید. پرت های تک متغیره اغلب فقط پرت نامیده می شوند و همان نوع پرت هایی هستند که اگر آزمون های t یا ANOVA انجام هید، با آنها مواجه خواهید شد. ما در این آموزش به آنها به عنوان تک متغیره اشاره می کنیم تا آنها را از پرت چند متغیره متمایز کنیم. پرت چند متغیره مواردی هستند که ترکیبی غیرعادی از مقادیر بر روی متغیرهای وابسته دارند.

فرض شماره 6:

نرمال بودن چند متغیره وجود داشته باشد. متأسفانه، نرمال بودن چند متغیره یک فرض پیچیده برای آزمون است و نمی‌توان آن را مستقیماً در Minitab بررسی کرد. درعوض، نرمال بودن هر یک از متغیرهای وابسته برای هر یک از گروه های متغیر مستقل اغلب به عنوان بهترین حدس برای وجود نرمال بودن چند متغیره در جای خود استفاده می شود. شما می توانید این را با استفاده از آزمون Shapiro-Wilk برای نرمال بودن بررسی کنید که به راحتی برای استفاده از Minitab قابل اجرا می باشد.

فرض شماره 7:

یک رابطه خطی بین هر جفت متغیر وابسته برای هر گروه از متغیر مستقل وجود داشته باشد. اگر متغیرها به صورت خطی مرتبط نباشند، توان آزمون کاهش می یابد. شما می توانید این فرض را با ترسیم یک ماتریکس پراکنده گی (scatterplot matrix) برای هر گروه از متغیر مستقل بررسی کنید.

فرض شماره 8:

ماتریکس های واریانس-کوواریانس همگنی (homogeneity of variance-covariance matrices) وجود داشته باشد. شما می توانید این فرض را با استفاده از آزمون M باکس برای همگنی کوواریانس (Box’s M test of equality of covariance) بررسی کنید، اما این آزمون در Minitab در دسترس نیست.

فرض شماره 9:

چند خطی (multicollinearity) وجود نداشته باشد. در حالت ایده‌آل، شما می‌خواهید که متغیرهای وابسته شما با یکدیگر همبستگی متوسطی داشته باشند. اگر همبستگی ها کم باشد، بهتر است ANOVA های یک طرفه را جداگانه اجرا کنید، و اگر همبستگی(های) خیلی زیاد باشد (بیشتر از 0.9)، می توانید چند خطی داشته باشید. این برای MANOVA مشکل ساز است و باید بررسی شود.

در عمل، بررسی فرضیات #5، #6، #7، #8 و #9 احتمالاً بیشتر وقت شما را هنگام انجام یک MANOVA یک طرفه می‌گیرد. با این حال، کار سختی نیست و Minitab بسیاری از ابزارهای مورد نیاز برای انجام این کار را در اختیار شما قرار می دهد.

در بخش بعدی، روش Minitab مورد نیاز برای انجام یک MANOVA یک طرفه را با فرض اینکه هیچ فرضی نقض نشده است، را به شما نشان می‌دهیم. ابتدا، مثالی که برای توضیح روش MANOVA یک طرفه در Minitab استفاده کرده ایم، را ارائه می‌کنیم.

 

مثال

یک محقق می خواهد اثربخشی انواع مختلف مداخله آموزشی (learning intervention) را بر عملکرد امتحان بررسی کند. عملکرد امتحان به عنوان نمرات کسب شده در امتحان فارسی و یک آزمون علوم ارزیابی شد. نمرات این دو امتحان، دو متغیر وابسته ای هستند که محقق می خواهد اندازه گیری کند. انواع مختلف مداخله آموزشی عبارت است از: روش آموزشی فعلی (به نام برنامه “”Regular)، یک برنامه آموزشی منظم (به نام برنامه “Rote”) و یک برنامه آموزشی مبتنی بر مهارت های استدلالی (به نام برنامه “Reasoning”). این سه نوع مداخله آموزشی سه دسته از متغیر مستقل هستند.

برای انجام این بررسی، 30 دانش آموز برای شرکت در مطالعه انتخاب شدند. از این 30 دانش آموز، 10 دانش آموز به هر روش آموزشی اختصاص داده شدند (یعنی 10 دانش آموز در برنامه “Regular”، 10 دانش آموز در برنامه “Rote” و 10 دانش آموز در برنامه “Reasoning”). برای ارزیابی تأثیر این مداخلات آموزشی متفاوت بر عملکرد دانش‌آموزان در امتحانات فارسی و علوم، از یک MANOVA یک طرفه استفاده شد.

 

تنظیمات در Minitab

در Minitab سه متغیر را تنظیم کردیم. زیر ستون C1-T نام متغیر مستقل Intervention را به صورت زیر وارد کردیم. سپس در زیر ستون C2 نام اولین متغیر وابسته Humanities Score (نمره امتحان فارسی) و در زیر ستون C3 نام دومین متغیر وابسته یعنی Science Score (نمره امتحان علوم) را به صورت زیر وارد کردیم. نمرات از 0 تا 100 در نظر گرفته شده اند. تنظیمات به شرح زیر است:

مراحل آزمون در Minitab

در این بخش به شما نشان می‌دهیم که چگونه با استفاده از یک MANOVA یک طرفه در Minitab، داده‌های خود را آنالیز کنید. البته به شرطی که 9 فرض گفته شده در بخش فرضیات، نقض نشده باشند. بنابراین، چهار مرحله مورد نیاز برای اجرای MANOVA یک طرفه در Minitab در زیر نشان داده شده است:

مرحله (1)

همانطور که در زیر نشان داده شده است، روی

Stat > ANOVA > General MANOVA…

در منوی اصلی کلیک کنید:

با پنجره ی General MANOVA زیر روبرو خواهید شد:

مرحله (2)

متغیرهای وابسته، Humanities Score و Science Score را به کادر Responses منتقل کنید. در نهایت با صفحه ای شبیه به صفحه زیر مواجه خواهید شد:

توجه: برای انتقال متغیرهای خود، ابتدا باید روی کادر Responses: کلیک کنید تا دو متغیر شما در کادر سمت چپ اصلی ظاهر شوند.با این کار دکمه انتخاب فعال می گردد که قبلا به صورت پیشفرض به حالت غیر فعال بود. اکنون می توانید C2 Humanities Score و C3 Science Score را در کادر اصلی سمت چپ انتخاب کنید و دکمه Select را فشار دهید تا به کادر Responses منتقل شوند.

مرحله (3)

متغیر مستقل C1 Intervention را به کادر Model منتقل کنید. همانطور که در زیر نشان داده شده است با صفحه نمایش روبرو خواهید شد:

توجه: برای انتقال متغیر مستقل، ابتدا باید روی کادر Model: کلیک کنید تا متغیر مستقل شما در کادر سمت چپ اصلی (یعنی C1 Intervention) ظاهر شود (نکته، این جعبه اصلی سمت چپ علاوه بر متغیر مستقل شما، متوجه خواهید شد که ممکن است متغیرهای دیگری در آن وجود داشته باشد. اما شما آنها را نادیده بگیرید). اکنون می‌توانید متغیر C1 Intervention را با استفاده از دکمه انتقال دهید

مرحله (4)

بر روی دکمه OK کلیک کنید. خروجی Minitab در زیر نشان داده شده است.

 

خروجی MANOVA یک طرفه در Minitab

خروجی Minitab برای MANOVA یک طرفه در زیر نشان داده شده است:

در جدول بالا سه ردیف وجود داشته دارد که می توانید برای به دست آوردن نتیجه MANOVA یک طرفه آن را تفسیر کنید. این ردیف ها Wilks’، Lawley-Hotelling و Pillai’s هستند. ما از نتایج ردیف Wilks استفاده خواهیم کرد. در این آموزش لامبدا (Λ) ویلکس و اهمیت آماری آن را گزارش می‌کند. آمار لامبدا Wilks در ردیف Wilks’ و زیر ستون Test Statistics یافت می شود. می توانید ببینید که لامبدای Wilks مقدار 0.708 ( تا 3 d.p.) است. سطح معنی داری آماری (یعنی p-value) در زیر ستون P یافت می شود. می توانید ببینید که 0.001 است. به این ترتیب، MANOVA یک طرفه از نظر آماری معنادار است. زیرا P <.05 می باشد. به عبارت دیگر، بین مداخلات آموزشی بر عملکرد امتحان تفاوت آماری معناداری وجود داشته باشد.

توجه: ما خروجی را از MANOVA یک طرفه در بالا ارائه می دهیم. با این حال، از آنجایی که باید داده‌های خود را برای فرضیاتی که قبلاً در بخش فرضیات توضیح دادیم بررسی می‌کردید، باید خروجی Minitab را نیز که هنگام بررسی برای آنها تولید شده، تفسیر کنید. همچنین، به یاد داشته باشید که اگر داده‌های شما با هر یک از این فرضیات شکست بخورد، خروجی‌ای که از روش MANOVA یک طرفه به دست می‌آورید (یعنی خروجی‌ای که در بالا بحث کردیم) ممکن است دیگر معتبر نباشد.

 

گزارش خروجی MANOVA یک طرفه

هنگامی که خروجی MANOVA یک طرفه خود را گزارش می کنید، بهتر است که شامل موارد زیر باشد:

الف. مقدمه ای بر آنالیزی که انجام دادید.

ب. اطلاعات مربوط به نمونه شما(N) ، از جمله تعداد شرکت‌کنندگان در هر یک از گروه‌های متغیر مستقل شما. نکته: این به ویژه زمانی مفید خواهد بود که اندازه‌های گروه نابرابر باشد یا مقادیر گم شده (missing values) داشته باشید.

ج. بیانی مبنی بر وجود تفاوت معنی دار آماری بین گروه های متغیر مستقل شما بر روی متغیر وابسته. این شامل لامبدای Wilks’ (آمار آزمون)، آماره F، درجات آزادی صورت (Num) (numerator degrees of freedom)، درجات آزادی مخرج (Denom) (denominator degrees of freedom) و سطح معناداری، یا به طور خاص تر، 2-tailed p-value (P) خواهد بود.

 

بر اساس خروجی Minitab در بالا، می‌توانیم نتایج این مطالعه را به شرح زیر گزارش کنیم:

تفاوت آماری معنی داری در عملکرد تحصیلی بر اساس روش آموزشی اعمال شده، وجود دارد

F(4, 112)=5.285, p=.001, Wilk’s Λ=0.708

 

علاوه بر گزارش نتایج به شرح بالا، می توان از یک نمودار برای ارائه بصری نتایج استفاده کرد. علاوه بر این، به طور فزاینده ای انتظار می رود علاوه بر نتایج MANOVA یک طرفه خود، یک “اندازه اثر” (effect size) را نیز گزارش کنید. اندازه اثرها مهم هستند زیرا در حالی که MANOVA یک طرفه به شما می‌گوید که آیا تفاوت بین میانگین‌های گروهی «واقعی» است (یعنی در جمعیت متفاوت است)، اما «اندازه» تفاوت را به شما نمی‌گوید. Minitab این اندازه اثرها را برای شما تولید نمی کند، می توان آنها را از روی نتایجی که Minitab تولید می کند محاسبه کرد.

 

مطالب زیر را هم از دست ندهید:

ANOVA سه طرفه در Stata

آنالیز کوواریانس چند متغیره (MANCOVA) یک طرفه در SPSS

MANOVA یک طرفه با استفاده از Stata

ANOVA مخلوط با استفاده از SPSS Statistics

ANOVA اندازه گیری های مکرر دو طرفه با استفاده از SPSS Statistics

ANOVA دو طرفه در SPSS Statistics

ANOVA با اندازه گیری های مکرر با استفاده از SPSS Statistics

ANCOVA یک طرفه در SPSS Statistics

ANOVA ی اندازه گیری های مکرر

Afshin Safaee (@afshinsafaee.official)