آزمون t مستقل (independent t-test) برای دو نمونه

پری کرمی
مارس 3, 2023
یک دیدگاه

آزمون t مستقل (independent t-test) برای دو نمونه

مقدمه

آزمون t مستقل (independent t-test) که به آن آزمون t دو نمونه ای (two sample t-test)، آزمون t مستقل نمونه ها (independent-samples t-test) یا آزمون t استیودنت (student’s t-test) نیز گفته می شود، یک آزمون آماری استنباطی برای تعیین وجود یا نبود تفاوت معنی داری بین میانگین ها در دو گروه غیرمرتبط می باشد.

فرضیه های صفر (H₀) و جایگزین (H_A) برای آزمون t مستقل

فرضیه صفر برای آزمون t مستقل این است که میانگین جامعه از دو گروه غیرمرتبط (u₁ و u₂) با هم برابر است:

H₀: u₁ = u₂

در بیشتر موارد، ما به دنبال این هستیم که آیا می‌توانیم فرضیه صفر را رد کنیم و فرضیه جایگزین را بپذیریم. یعنی اینکه میانگین‌های جمعیت برابر نیستند:

H_A: u₁ ≠ u₂

برای انجام این کار، باید یک سطح معناداری (که آلفا نیز نامیده می شود) تعیین کنیم که به ما امکان می دهد فرضیه جایگزین را رد یا بپذیریم. نرمالاً این مقدار بر روی 0.05 تنظیم می شود.

برای اجرای آزمون تی مستقل به چه چیزهایی نیاز دارید؟

برای اجرای آزمون t مستقل به موارد زیر نیاز دارید:

(1) یک متغیر مستقل و طبقه ای (categorical) که دارای دو سطح/گروه است.

(2) یک متغیر وابسته پیوسته

گروه های غیر مرتبط (Unrelated groups)

گروه‌های غیرمرتبط که گروه‌های جفت نشده (unpaired) یا گروه‌های مستقل نیز نامیده می‌شوند، گروه‌هایی هستند که موارد (مثلاً شرکت‌کنندگان) در هر گروه متفاوت است. اغلب ما تفاوت ها در افراد ( یا موارد) را بررسی می کنیم، به این معنی که هنگام مقایسه دو گروه، یک فرد در یک گروه نمی تواند عضو گروه دیگر نیز باشد و بالعکس. یک مثال می تواند جنسیت باشد – یک فرد باید به عنوان مرد یا زن طبقه بندی شود – نه هر دو!.

فرض نرمال بودن (normality) متغیر وابسته

آزمون t مستقل مستلزم آن است که متغیر وابسته تقریباً به طور نرمال در هر گروه توزیع شود.

نکته: از نظر فنی، این باقیمانده ها هستند که باید به طور نرمال توزیع شوند، اما برای یک آزمون t مستقل، هر دو نتیجه یکسانی به شما می دهند.

شما می توانید نرمالیته (نرمال بودن) را با استفاده از آزمون های مختلفی بررسی کنید، اما تست نرمال بودن Shapiro-Wilks یا یک روش گرافیکی، مانند Q-Q Plot، بسیار رایج است. شما می توانید این تست ها را با استفاده از SPSS اجرا کنید. با این حال، آزمون t به عنوان یک آزمون قوی با توجه به فرض نرمال بودن توصیف می شود. این بدان معنی است که مقداری انحراف از نرمال بودن تأثیر زیادی بر میزان خطای نوع I ندارد.

وقتی فرض نرمال بودن را نقض گردد چه باید کرد

اگر متوجه شدید که یکی یا هر دو داده های گروه شما تقریباً به طور نرمال توزیع نشده اند و اندازه گروه ها بسیار متفاوت است، دو گزینه دارید: (1) داده های خود را طوری تغییر دهید که داده ها به طور نرمال توزیع شوند (تبدیل داده ها Transforming Data) یا (2) آزمون من ویتنی U (Mann-Whitney U Test) را اجرا کنید که یک آزمون ناپارامتریک است که نیازی به فرض نرمال بودن ندارد.

فرض همگنی واریانس (homogeneity of variance)

آزمون t مستقل فرض می‌کند که واریانس دو گروهی که اندازه‌گیری می‌کنید در جامعه برابر هستند. اگر واریانس های شما نابرابر باشند، می تواند بر میزان خطای نوع I تأثیر بگذارد. فرض همگن بودن واریانس را می توانید با استفاده از آزمون برابری واریانس های Levene که در آمار SPSS هنگام اجرای روش آزمون t مستقل تولید می شود، بررسی کنید. اگر تست برابری واریانس های Levene را در آمار SPSS اجرا کرده باشید، نتیجه ای شبیه به زیر دریافت خواهید کرد:

این آزمون برای همگنی واریانس، یک آماره F و یک مقدار معنادار (p-value) ارائه می دهد. ما در درجه اول نگران مقدار معنی داری هستیم – اگر بزرگتر از 0.05 باشد (یعنی p > 0.05)، واریانس های گروهی ما می توانند برابر در نظر گرفته شوند. با این حال، اگر p <0.05، واریانس های نابرابر داریم و فرض همگنی واریانس ها نقض شده است.

غلبه بر نقض فرض همگنی واریانس

اگر آزمون لوون (Levene) برای برابری واریانس ها از نظر آماری معنی دار باشد، نشان می دهد که واریانس های گروهی در جامعه نابرابر هستند، شما می توانید این تخلف را با استفاده نکردن از تخمین تلفیقی (pooled estimate) برای عبارت خطا برای آمار t تصحیح کنید، ولی باید از تنظیم درجه آزادی با استفاده از روش Welch-Satterthwaite استفاده می کند. احتمالاً نام این تنظیمات را نشنیده‌اید، زیرا SPSS این اطلاعات را پنهان می‌کند و به سادگی دو گزینه را به‌عنوان Equal variances assumed «واریانس‌های برابر فرض شده» و Equal variances not assumed «واریانس‌های برابر فرض نشده» بدون بیان صریح آزمون‌های اساسی مورد استفاده، نام‌گذاری می‌کند. با این حال، می توانید شواهد این آزمونها را به صورت زیر مشاهده کنید:

از نتیجه آزمون تساوی واریانس لوین می توان فرضیه صفر مبنی بر عدم وجود تفاوت در واریانس بین گروه ها را رد کرد و فرضیه جایگزین را مبنی بر وجود تفاوت آماری معنادار در واریانس بین گروه ها قبول کرد. در ستون پایانی شکل فوق مشهود است (Equal variances not assumed) که در آن شاهد کاهش مقدار آماره t و کاهش زیادی در درجات آزادی (df) هستیم. این اثر افزایش p-value بالاتر از سطح اهمیت بحرانی 0.05 دارد. بنابراین، در این مورد، فرضیه جایگزین را نمی‌پذیریم و می‌پذیریم که از نظر آماری تفاوت معناداری بین میانگین‌ها وجود ندارد. اگر همگنی واریانس ها را آزمایش نمی کردیم، نتیجه گیری ما به این صورت نمی شد.

گزارش نتیجه یک آزمون t مستقل

هنگام گزارش نتیجه یک آزمون t مستقل، باید مقدار آماره t(t-statistic)، درجات آزادی (df) و مقدار معناداری آزمون (p-value) (significance value) را در نظر بگیرید. فرمت نتیجه آزمون عبارت است از:

t(df) = t-statistic, p = significance value

بنابراین، برای مثال بالا، می توانید نتیجه را به صورت زیر گزارش کنید:

t(7.001) = 2.233, p = 0.061

به طور کامل نتایج خود را گزارش کنید

برای درک کامل نتایج در هنگام اجرای یک آزمون t مستقل و به منظور ارائه اطلاعات کافی برای خوانندگان، باید نتیجه آزمون های نرمال بودن، آزمون برابری واریانس لوون، دو میانگین گروه و انحراف معیار، نتیجه واقعی آزمون t و جهت تفاوت (مثبت و یا منفی در صورت وجود) را در نظر بگیرید.. علاوه بر این، ممکن است بخواهید تفاوت بین گروه ها را به همراه یک فاصله اطمینان 95 درصد در نظر بگیرید. مثلا:

بررسی نمودارهای Q-Q نشان داد که غلظت کلسترول به طور نرمال برای هر دو گروه توزیع شده است و مطابق با آزمون Levene’s برای برابری واریانس ها، واریانس همگنی وجود داشت. بنابراین، آزمون t مستقل بر روی داده ها با فاصله اطمینان 95 درصد (CI) برای اختلاف میانگین اجرا شد. مشخص شد که پس از دو مداخله، غلظت کلسترول در گروه رژیم غذایی (52/0 ± 15/6 میلی مول در لیتر) (t(38) = 2.470, p = 0.018) به طور معنی داری بیشتر از گروه ورزش (38/0 ± 80/5 میلی مول در لیتر) (95% CI, 0.06 to 0.64) بود